流形上整體幾何結(jié)構(gòu)與不變量的研究是當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容。作為一門(mén)研究空間性質(zhì)的學(xué)科，幾何學(xué)的發(fā)展始終和物理學(xué)緊密聯(lián)系在一起。一方面幾何學(xué)為物理學(xué)提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和研究工具。另一方面物理的直觀和應(yīng)用極大的刺激了幾何學(xué)的發(fā)展并提供了新的研究方向。許多新的幾何結(jié)構(gòu)，新的幾何或拓?fù)洳蛔兞慷己屠碚撐锢恚ㄌ貏e是弦理論）有著密切的關(guān)系。這些不變量涉及到數(shù)學(xué)幾乎每個(gè)分支。關(guān)于這些不變量的研究已成為當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的核心方向。二十一世紀(jì)是量子數(shù)學(xué)的時(shí)代，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)門(mén)類(lèi)將進(jìn)一步融合并相互影響，物理的影響及數(shù)學(xué)與物理的交互作用和融合將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到更加重要的作用。加強(qiáng)我國(guó)在這個(gè)領(lǐng)域的研究工作具有重大意義。本項(xiàng)目擬研究與物理緊密相關(guān)的?？臻g的性質(zhì)并由此構(gòu)造新的幾何與拓?fù)洳蛔兞浚芯扛鞣N不變量之間的相互關(guān)系及對(duì)偶現(xiàn)象，研究這些不變量所具有的各種結(jié)構(gòu)以及與可積系統(tǒng)之間的關(guān)系等。如果這個(gè)項(xiàng)目的研究計(jì)劃得以實(shí)施，將極大推動(dòng)這個(gè)領(lǐng)域在我國(guó)的發(fā)展，培養(yǎng)更多的青年數(shù)學(xué)家從事這一領(lǐng)域的研究，加強(qiáng)我國(guó)在這一重要領(lǐng)域的國(guó)際影響力。

　　一、科學(xué)目標(biāo)

　　本項(xiàng)目研究和現(xiàn)代物理理論，特別是弦論密切相關(guān)的幾何結(jié)構(gòu)和拓?fù)洳蛔兞?。不變量反映了?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)最重要的性質(zhì)，也是研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)最重要的工具，對(duì)這些結(jié)構(gòu)的分類(lèi)也起著至關(guān)重要的作用。擬通過(guò)構(gòu)造新的幾何與拓?fù)洳蛔兞拷⑿碌臄?shù)學(xué)理論，解決數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域最前沿的科學(xué)問(wèn)題，爭(zhēng)取在諸如鏡像對(duì)稱(chēng)猜測(cè), Virasoro猜想，Strominger-Yau-Zaslow猜想，Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 對(duì)應(yīng)等一系列具有重大國(guó)際影響的問(wèn)題上取得突破性進(jìn)展。擬通過(guò)對(duì)各種?？臻g的研究來(lái)構(gòu)造新的不變量，進(jìn)一步加深對(duì)各種幾何不變量的理解，找到計(jì)算這些不變量的有效方法，發(fā)現(xiàn)并研究這些幾何不變量背后的深刻結(jié)構(gòu)，用這些不變量理論解決傳統(tǒng)方法不能解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，研究各種不變量之間的聯(lián)系及其在其它數(shù)學(xué)分支和物理中的重要應(yīng)用等。

　　二、研究?jī)?nèi)容

　　（一）?？臻g理論與幾何不變量的構(gòu)造。

　　構(gòu)造閉弦和開(kāi)弦情形下新的幾何不變量，例如構(gòu)造哈密頓Gromov-Witten不變量，研究線性西格瑪模型并構(gòu)造相關(guān)不變量，研究Landau-Ginzburg模型的范疇化理論并進(jìn)一步構(gòu)造高虧格的理論。研究建立這些不變量所需要的?？臻g的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。研究各種幾何不變量的計(jì)算問(wèn)題。

　?。ǘ╃R像對(duì)稱(chēng)。

　　研究各種幾何不變量之間被物理學(xué)家預(yù)言的對(duì)偶性現(xiàn)象，比如關(guān)于Calabi-Yau流形的鏡像對(duì)稱(chēng)猜想，Landau-Ginzburg/Calabi-Yau對(duì)應(yīng)猜想等。

　?。ㄈ┬翈缀尾蛔兞颗c可積系統(tǒng)的聯(lián)系。

　　探討辛幾何不變量與數(shù)學(xué)其他分支之間的重要聯(lián)系，特別是Gromov-Witten不變量和可積系統(tǒng)之間關(guān)系。研究與此相關(guān)的重要猜想，如Virasoro猜想等。研究Gromov-Witten不變量的新結(jié)構(gòu)和有效計(jì)算方法。

　　三、申請(qǐng)注意事項(xiàng)

　?。ㄒ唬┥暾?qǐng)書(shū)的附注說(shuō)明選擇“幾何結(jié)構(gòu)與拓?fù)洳蛔兞俊薄?/p>

　?。ǘ┥暾?qǐng)人申請(qǐng)的直接費(fèi)用預(yù)算不得超過(guò)2000萬(wàn)元/項(xiàng)（含2000萬(wàn)元/項(xiàng)）。

　　（三）本項(xiàng)目由數(shù)理科學(xué)部負(fù)責(zé)受理。